Avtrycksmetoden - parametrisk lösning av initialvärdesproblem

I detta examensarbete undersöks och förbättras en ny, allmän metod (avtrycksmetoden) för semi-analytisk lösning av fysikaliska initialvärdesproblem. Metoden kan bli betydelsefull för framtagning av fysikaliska fenomens parameterskalningar och vid undersökning av fenomen som är känsligt parameterberoende. Fokus ligger här särskilt på tillämpningar inom fluidmekaniken och fusionsplasmafysiken.

Vid numeriska studier av fysikaliska fenomen är man som regel begränsad till enskilda scenarier, för vilket alla ingående fysikaliska parametrar är specificerade. Parametriskt beroende kan alltså endast erhållas genom att utföra en väl vald serie av beräkningar. Med hjälp av symbolisk datormatematik har nu emellertid en algoritm tagits fram, där i stället semi-analytiska, parametriska lösningar till partiella differentialekvationer erhålles. Med semi-analytisk avses här att lösningarna uttrycks analytiskt som polynomexpansioner i ingående variabler och parametrar, där koefficienterna beräknas numeriskt.

Avtrycksmetoden är, formellt sett, en spektralmetod som tillhör klassen viktade residualmetoder. Det innebär att rums- och parameterberoenden spektralutvecklas, medan en tidsstegningsalgoritm används för att avancera initialvärdesproblemet. Global felminimering sker med hjälp av Chebyshevapproximation. Metoden är enkel att använda även för ickelinjära system av differentialekvationer.

I examensarbetet undersöks olika möjligheter för tidsstegning. Inom fluidmekaniken och magnetohydrodynamiken kan problem ha flera tidsskalor, varav man ofta är intresserad av den långsammare. Därför blir det önskvärt att algoritmen kan använda stora tidssteg, gärna genom en s k implicit formulering. Examensarbetet innebär också undersökning av algoritmens stabilitet och möjligheterna att lösa problem med skarpa gradienter, exempelvis stötvågor. För att effektivt lösa system av ekvationer i flera dimensioner bör tidsstegningen utföras effektivt, exempelvis i språk som Fortran eller C. Arbetet utförs med intressanta problem inom främst fluiddynamiken. Viss vana vid Maple är en fördel.